МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
з курсу "Чисельні методи"
для студентів базового напрямку
6.0802 "Прикладна математика"
Затверджено
на засіданні кафедри
“Прикладна математика”
Протокол № 7 від 14.3.2002 р.
Львів 2002
Чисельне розв(язування нелінійних рівнянь: Методичні вказівки з курсу «Чисельні методи» для студентів базового напрямку 6.0802 «Прикладна математика»/ Укл.: М.В.Кутнів, Я.В.Пізюр, А.Б.Гуць. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2002.- с.
Укладачі Кутнів М.В., канд. фіз-мат. наук, доц.,
Пізюр Я.В., канд. фіз-мат. наук, доц.,
Гуць А.Б.., асист.
Відповідальний за випуск Костробій П.П., канд. фіз-мат. наук, проф.
Рецензенти Максимів Є.М., канд. фіз-мат. наук, доц.,
Гнатів Б.В., канд. фіз-мат. наук, доц.
ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Нехай задано рівняння:
, (1)
де - неперервна функція.
Чисельне розв’язування рівняння (1) складається з двох етапів:
відокремлення коренів, тобто пошук проміжків, на яких є тільки один корінь рівняння;
обчислення коренів з наперед заданою точністю.
Для відокремлення коренів корисне відоме з аналізу твердження:
Теорема 1. Якщо неперервна функція набуває різних знаків на кінцях відрізка , тобто , то в цьому проміжку є принаймні один корінь рівняння.
Якщо, крім того, похідна існує і зберігає постійний знак у проміжку , то корінь єдиний.
Універсальним методом відокремлення коренів є побудова графіка функції за допомогою ЕОМ, тобто графічне відокремлення.
Наближені значення коренів уточняють різними ітераційними методами. Розглянемо найефективніші з них.
Метод ділення навпіл (метод дихотомії або бісекції)
Нехай ми знайшли такі точки , що і на відрізку лежить лише один корінь рівняння (1). Обчислення будемо виконувати за такою схемою: покладемо і за виберемо те із значень чи , для якого , далі обчислюємо , , і т.д. Цей процес продовжується доти, доки довжина відрізка, який містить корінь не стане меншою за . Середина останнього відрізка дає значення кореня з заданою точністю . Такий ітераційний процес, очевидно збігається зі швидкістю геометричної прогресії із знаменником , тобто
.
Основний недолік цього методу - повільна збіжність.
Метод послідовних наближень (простої ітерації)
Нехай на відрізку рівняння (1) має корінь . Запишемо (1) у вигляді
, (2)
де , - довільна функція, яка не має коренів на . Зокрема, .
Метод простої ітерації визначається формулою
, (3)
де - номер ітерації, - початкове наближення.
Справджується твердження.
Теорема 2. Нехай функція у деякому околі( задовольняє умову Ліпшиця
(4)
із сталою Ліпшиця , причому
.
Тоді рівняння (2) має в околі ( єдиний корінь , який є границею послідовності , що визначається формулою (3).
Доведення. Покажемо, що відображає в банаховому просторі замкнуту кулю ( в себе. Дійсно, якщо , тобто , то
Крім того, на ( – стискаюче відображення в силу умови Ліпшиця (4).
Отже, на підставі принципу стискаючих відображень в кулі ( існує єдиний розв’язок рівняння (2). Теорема доведена.
Для похибки маємо оцінку
,
тому кажуть, що метод послідовних наближень збігається із швидкістю геометричної прогресії з знаменником .
Якщо функція має похідну на (, то умова Ліпшиця виконується, коли бо тоді згідно з формулою скінченних приростів , де . Більшу швидкість збіжності має метод Ньютона.
Метод Ньютона (метод дотичних)
Використовуючи формулу Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа, запишемо рівність
де - точне значення кореня. Якщо у цьому розкладі відкинути останній член (залишковий член) і замінити на
або
, (5)
то отримаємо метод Ньюто...
